درسنامه آموزشی فصل سوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 1: توصیف و نمایش دادهها
بعد از گردآوری دادهها، به تنظیم، ردهبندی و خلاصه کردن آنها می پردازیم. به این منظور میتوان از روشهای زیر استفاده نمود:
الف) تنظیم و طبقهبندی دادهها در یک جدول به نام جدول فراوانی
ب) رسم کردن نمودارهای مختلف بر اساس مقادیر جدول فراوانی
فعالیت (صفحه 74 کتاب درسی)
یک راننده تاکسی در یک روز، اسکناسهای زیر را از مسافران دریافت میکند. او تصمیم دارد این اسکناسها را در کیف خود دستهبندی کند. برای انجام این دستهبندی، میخواهد مراحل زیر را انجام دهد. شما او را کمک کنید تا این کار را انجام دهد.
1- ابتدا به هر نوع اسکناس عدد 1 تا 4 را بدهید و در ستون شماره وارد کنید.
2- سپس به شمارش اسکناسها بپردازید و تعداد تکرار هر اسکناس را در ستون سوم وارد کنید.
3- در ادامه تعداد هر اسکناس را بر تعداد کل اسکناسها تقسیم کنید و آنرا در ستون چهارم قرار دهید.
4- با توجه به اعداد موجود در جدول زیر، چند درصد اسکناسها 10 هزار تومانی، چند درصد 1000 تومانی، چند درصد 5 هزار تومانی و چند درصد از اسکناسها 10 هزار تومانی است؟
| انواع اسکناسها | شماره | فراوانی یا تعداد تکرار هر اسکناس |
|
|
|
1 | 6 | $\frac{6}{20}$ |
|
|
2 | 3 | 0/15 |
|
|
3 | 4 | 0/2 |
|
|
4 | 7 | 0/35 |
| تعداد کل اسکناسها | 20 |
حال میخواهیم جدول بالا را بهصورت سه نمودار الف، ب و پ نشان دهیم.
1- در نمودار الف، ابتدا دو محور مختصات رسم میکنیم که محور عمودی نشاندهندۀ تعداد تکرار اسکناسها، یا فراوانی اسکناسها و محور افقی نشاندهندۀ نوع اسکناسها باشد. در این نمودار، اسکناسهای 1000 و 5 هزار تومانی روی هم قرارگرفتهاند. شما هم اسکناسهای 2 هزار تومانی را بهصورت 
و اسکناسهای 10 هزار تومانی را بهصورت 
در نمودار قرار داده و آنرا کامل کنید.
2- در نمودار ب، نیز دو محور مختصات رسم میکنیم که محور عمودی نشاندهندۀ نسبت تکرار هر اسکناس به تعداد کل اسکناسها یا فراوانی نسبی اسکناسها و محور افقی نشاندهندۀ نوع اسکناسها است. با رسم مستطیلهایی برای فراوانی نسبی اسکناسهای 1000 و 5 هزار تومانی نمودار شکل ب را کامل کنید.
3- اگر راننده تاکسی بخواهد وضعیت تعداد اسکناسهای خود را در یک هفته پیشبینی کند، کدام نمودار الف یا ب میتواند به او کمک کند؟
4- برای رسم نمودار دایرهای ابتدا دایره را به 10 قسمت مساوی تقسیم میکنیم که هر قسمت نشاندهندۀ 10 درصد کل دایره است. سپس با استفاده از عدد مربوط به نسبت تکرار هر اسکناس به تعداد کل اسکناسها یا فراوانی نسبی مربوط به اسکناس هزار تومانی، سه قسمت دایره رنگ زرد شده است که معادل 30 درصد کل دایره است و بهطور مشابه برای اسکناس 2 هزار تومانی، یک و نیم قسمت دایره رنگ قرمز شده است که معادل 15 درصد کل دایره است. برای اسکناسهای 5000 و 10000 تومانی دایره را رنگ آبی و سبز کنید.
کار در کلاس (صفحه 76 کتاب درسی)
در مورد اینکه مسافران یک قطار در طول سفر چگونه از وقت خود استفاده میکنند، تحقیقی صورت گرفته است و نتایج زیر بهدست آمده است.
در شکل ت، تعداد مسافران یک قطار بهعنوان متغیر گسسته را ملاحظه میکنید.
- افرادی که با رنگ زرد مشخص شدهاند، مسافرانیاند که در قطار استراحت میکنند.
- افرادی که با رنگ نارنجی مشخص شدهاند، مسافرانیاند که در قطار با تلفن همراه خود بازی میکنند.
- افرادی که با رنگ سبز مشخص شدهاند، مسافرانیاند که در قطار مطالعه میکنند.
- افرادی که با رنگ آبی مشخص شدهاند، مسافرانیاند که در قطار غذا میخورند.
جدول فراوانی مربوط به فراوانی تعداد مسافران را کامل کنید.
| مسافران قطار | شماره مسافران | فراوانی مسافران | فراوانی نسبی مسافران |
| مسافرانی که استراحت میکنند | 1 | 50 | |
| مسافرانی که با تلفن همراه خود بازی میکنند | 2 | 0/25 | |
| مسافرانی که مطالعه میکنند | 3 | 15 | |
| مسافرانی که غذا میخورند | 4 | 0/10 | |
| تعداد کل مسافران | 100 |
همچنین نمودار میلهای مربوط به فراوانی تعداد مسافران را کامل کنید.
فراوانی نسبی تعداد مسافران را بر اساس جدول کامل شده رسم کنید. نمودار دایرهای مربوط به فراوانی نسبی تعداد مسافران را رسم کنید.
فعالیت (صفحۀ 78 کتاب درسی)
سالهاست که با مسئلۀ آلودگی هوا آشنا هستیم و این مسئله به یکی از دغدغههای مهم تبدیل شده است.
شاخص کیفیت هوا (AQI)، متغیّری پیوسته برای بیان کیفیت روزانه هواست. شاخص کیفیت هوا، برای شش آلایندۀ اصلی هوا شامل کربن مونواکسید، اوزون، گوگرد دیاکسید، نیتروژن دیاکسید و میزان ذرات معلّق در هوا سنجیده میشود.
| آلاینده | تأثیر بهداشتی | منبع انتشار |
| اوزون ($O_3$) |
کاهش عملکرد ریه و افزایش علائم تنفسی مانند سرفه، تنگی نفس، تشدید آسم و سایر بیماریهای ریوی، افزایش استفاده از دارو، مراجعات و پذیرش بیمارستانی، اورژانس و مرگومیر زودرس | این آلایندۀ ثانویه در اثر واکنش شیمیایی ترکیبات آلی فرّار و اکسیدهای نیتروژن در حضور نور خورشید تولید میشود. |
| ذرات معلّق $PM_{2/5}$ $PM_{10}$ |
مواجۀ کوتاهمدت با این آلاینده میتواند منجر به تشدید علائم بیماریهای قلبی ریوی و علائم تنفسی، افزایش نیاز به استفاده از دارو و پذیرش بیمارستانی گردد و مواجۀ طولانیمدت عامل مرگومیر زودرس و تشدید بیماریهای قلبی و ریوی است. | ذرات معلّق در اثر انتشار مستقیم و یا واکنشهای شیمیایی ایجاد میشوند. عمدهترین منابع انتشار این آلاینده شامل احتراق سوخت (مانند سوزاندن زغال سنگ، چوب و سوخت دیزل)، فرایندهای صنعتی، کشاورزی و انتشار از جاده، خودروها (اگزوز، لنت، لاستیک و ...) میباشند. |
| نیتروژن دیاکسید $NO_{2}$ | تشدید بیماریهای ریوی، افزایش مراجعات و پذیرش بیمارستانی، اورژانس و افزایش آسیبپذیری و استعداد ابتلا به عفونتهای ریوی | احتراق سوخت (از وسایل نقلیه، واحدهای تولید برق، صنایع، پویلرها و همچنین سوزاندن چوب) |
| کربن مونواکسید $CO$ | کاهش اکسیژنرسانی به بافتها و اندامهای مختلف بدن، تشدید بیماریهای قلبی و درد قفسه سینه، افزایش مراجعات و پذیرش بیمارستانی | احتراق سوخت (بهخصوص در وسایل نقلیه موتوری) |
| گوگرد دیاکسید $SO_{2}$ | تشدید آسم و افزایش علائم تنفسی، کمک به شکلگیری و تشدید علائم و اثرات بیماریهای ریوی | احتراق سوخت (بهویژه سوختهای با گوگرد بالا)، فرایندهای تولید برق و صنایع، منابع طبیعی مانند آتشفشانها |
اطلاعات تکمیلی و دادههای مربوط به شاخص آلودگی هوا در سایت شرکت کنترل کیفیت هوا قابل دسترسی است.
میزان شاخص کیفیت هوا در شهر تهران برای تمام روزهای سال 1393 در جدول زیر گزارش شده است. این جدول را کامل کنید:
| وضعیت هوا | شاخص کیفیت هوا | فراوانی | فراوانی نسبی |
| پاک | $0 \leqslant AQI \leqslant 50$ | 16 | |
| سالم | $50 \lt AQI \leqslant 100$ | 223 | |
| ناسالم برای گروههای حساس | $100 \lt AQI \leqslant 150$ | 112 | |
| ناسالم | $150 \lt AQI \leqslant 200$ | 4 | |
| بسیار ناسالم | $200 \lt AQI \leqslant 250$ | 10 | |
| خطرناک | $250 \lt AQI \leqslant 300$ | 0 | |
| تعداد کّل روزهای یک سال | 365 |
نمودار مربوط به فراوانی تعداد روزها بر اساس وضعیت آلودگی هوا را کامل کنید.
- نمودار فراوانی نسبی تعداد روزها را بر اساس وضعیت آلودگی هوا رسم کنید.
- چند درصد از روزهای سال، هوا سالم بوده است؟
- چند درصد از روزهای سال، هوا ناسالم و بسیار ناسالم بوده است؟
- کدام نمودار، در پاسخ دادن به سؤالات، ما را بهتر راهنمایی میکند؟
کار در کلاس (صفحۀ 80 کتاب درسی)
جدول فراوانی زیر مربوط به قد $(H)$ 50دانشآموز پایۀ یازدهم است. جاهای خالی جدول زیر را کامل کنید.
| دستهها | قد دانشآموزان | فراوانی | فراوانی نسبی | کرانهها |
| 129 ـ 120 | $120 \leqslant H \lt 130$ | 3 | [129/5 ـ 119/5] | |
| 139 ـ 130 | $130 \leqslant H \lt 140$ | 10 | [139/5 ـ 129/5] | |
| 149 ـ 140 | $140 \leqslant H \lt 150$ | 13 | [149/5 ـ 139/5] | |
| 159 ـ 150 | $150 \leqslant H /lt 160$ | 11 | [159/5 ـ 149/5] | |
| 169 ـ 160 | $160 \leqslant H \lt 170$ | 10 | [169/5 ـ 159/5] | |
| 179 ـ 170 | $170 \leqslant H \lt 180$ | 3 | [179/5 ـ 169/5] | |
| مجموع | 50 |
بر اساس اعداد جدول، نمودارهای بافت نگاشت (Histogram) مربوط به فراوانی نسبی قد دانشآموزان را کامل کنید.
قد چند درصد از دانشآموزان بین 160 تا 170 سانتیمتر است؟ همچنین قد چند درصد از دانشآموزان بین 120 تا 140 سانتیمتر است؟
تمرین (صفحۀ 81 کتاب درسی)
1- دادههای زیر، مسافتی را که 20 راننده از مکانهای مختلف برای رسیدن به مقصد A طی میکنند نشان میدهد. این دادهها، در جدول زیر گردآوری شده است. جدول را کامل کرده و نمودار بافت نگاشت مربوطه را رسم کنید.
| دستهها | کیلومترهایی که توسط راننده طی شده است | فراوانی | فراوانی نسبی |
| 10 ـ 6 | از 5/5 کیلومتر تا 10/5 کیلومتر | 1 | |
| 15 ـ 11 | از 10/5 کیلومتر تا 15/5 کیلومتر | 2 | |
| 20 ـ 16 | از 15/5 کیلومتر تا 20/5 کیلومتر | 3 | |
| 25 ـ 21 | از 20/5 کیلومتر تا 25/5 کیلومتر | 5 | |
| 30 ـ 26 | از 25/5 کیلومتر تا 30/5 کیلومتر | 4 | |
| 35 ـ 31 | از 30/5 کیلومتر تا 35/5 کیلومتر | 3 | |
| 40 ـ 36 | از 35/5 کیلومتر تا 40/5 کیلومتر | 2 | |
| مجموع | 20 |
2- رنگ چشم 128 فرد به شرح زیر است: 64 نفر قهوهای، 23 نفر آبی، 36 نفر سبز و 5 نفر سایر رنگهاست. چه نمودارهایی میتوان برای این اعداد رسم کرد؟ (نمودار میلهای / نمودار دایرهای / هردو) آن نمودار را رسم کنید.
3- جملات زیر را کامل کنید:
الف) برای متغیّرهای پیوسته از نمودار ............... استفاده میشود.
ب) برای متغیّرهای گسسته از نمودارهای ................. و ................. استفاده میشود.
پ) برای متغیّرهای کیفی از نمودارهای .................. و .................. استفاده میشود.
4- گروه خونی 50 دانشآموز پایۀ یازدهم بهصورت زیر گردآوری شدهاند:
الف) جدول فراوانی مربوط به این افراد را رسم کنید.
ب) نمودار میلهای مربوط به فراوانی و فراوانی نسبی و همچنین نمودار دایرهای را رسم کنید.
پ) چند درصد افراد، دارای گروه خونی O هستند؟
5- اگر فراوانی نسبی مربوط به گروه خونی O، چهاردهم (0/4) باشد و مجموع فراوانیهای همۀ گروههای خونی برابر 20 در نظر گرفته شود. فراوانی گروه خونی O چه عددی است؟
6- نمودار بافت نگاشت نمرات IQ کودکان یک مهدکودک بهصورت زیر رسم شده است. با توجه به این نمودار، به سؤلات زیر پاسخ دهید.
الف) تعداد کل کودکان که نمرۀ IQ آنها، مورد بررسی قرار گرفته است، چند نفر است؟
ب) نمرۀ IQ در کدام رده بیشترین و در کدام رده کمترین فراوانی را دارد؟
پ) چند درصد کودکان دارای نمرۀ IQ بین 140 تا 160 هستند؟
ث) جدول فراوانی آنرا رسم کنید.
7- جدول فراوانی و نمودارهای مناسب مربوط به تعداد حروف بیت شعر زیر را بهدست آورید.
کیست این پنهان مرا در جان و تن
کز زبان من همی گوید سخن